Парадоксы деления


На уроках математики в начальных классах школы детей учат основам действий с числами: сложению, вычитанию, умножению, делению. Самое сложное из действий – это деление.

Пример деления с остаткомСложность деления в начальной школе связана с необходимостью не просто разделить числа, но и найти остаток. Если деление нацело невозможно, то выделяется целое число, или целая часть – и остаток, который записывается отдельно.

Приведем пример деления с остатком трехзначного числа на двухзначное. Разделим 394 на 68. Делимое число состоит из трех знаков, а делитель – из двух, поэтому сначала надо определить, что меньше – первые две цифры делимого или делитель. 39 меньше, чем 68, поэтому рассматриваем сразу весь делитель. Если 68 умножить на 4 получается 272, если на 6 – 408, поэтому целое число будет равно 5-и. 68 умножить на 5 – это 340. 394-340=54. 54 меньше, чем 68, поэтому оставшееся нецелое число целиком уходит в остаток. Итог примера: целое число – 5, остаток – 54.

По сравнению с делением с остатком, деление с десятичными дробями гораздо легче. Во всяком случае, его решение легче записывать. Однако бывают случаи, когда ответное число выходит очень длинным – например, если разделить 10 на 3, результат будет выглядеть как-то так: 3,3333333333 и так далее. Чтобы таких случаев было как можно меньше, существуют несложные правила округления чисел после запятой, существенно упрощающие жизнь. Округление обычно проводится в повседневной жизни и в тех случаях, когда число оказывается очень длинным – как, например, число ? – 3,1415926535…

Правила округления чисел после запятойПравила округления просты:

  • для целых чисел – это замена разрядов, следующих за округляемым, нулями;
  • для десятичных дробей – отбрасывание всех чисел, которые находятся за округляемым разрядом;
  • если после округляемого разряда следует цифра, превышающая 5, то он округляется в большую сторону.

Сложности возникают и с делением на ноль. Отвечая на вопрос, почему нельзя делить на ноль, можно легко запутаться. На самом деле, процесс деления на ноль невозможен. Связано с тем, что деление само по себе – процесс, производный от умножения. Доказывается невозможность деления на ноль с помощью несложного уравнения с одной неизвестной, например: 14 : 0 = х. Тогда x=0*14. Полученное уравнение противоречит правилам умножения, поскольку при умножении на ноль всегда получается ноль.

Однако поскольку в учебниках математики не всегда бывает обоснование невозможности делить на ноль, в рамках школьной программы существует интересная ситуация. В одном из учебников математики результатом разделения ноля на ноль была не бесконечность вариантов, а все тот же ноль, а вот составитель другого учебника придерживался общего правила: число, разделенное на само себя, дает единицу. Вопрос в том, мнение кого из составителей учебников считать более авторитетным?